Botella de klein

Habran podido observar que en el tema que trate sobre la Banda de Moebius, se nombro a ¨La Botella de Klein¨....

Para mi este tipo, Klein, se baso en la banda de moebius para concebir al menos en su principio este concepto..., parece ser un tipo de botella que como la famosa banda, no son orientables, o superficies que parecen de ciertas dimensiones pero se mezclan con otras, en la banda teniamos que tenia una sola superficie, en la botella tenemos que tiene un solo lado, no existe el interior o su exterior por ende, o los dos son uno, como deseen verlo, lo loco es que aca esta figura se tiene que atravesar a si misma para ser loq ue es y poderla representar, hace unos 5 años ( si mal no recuerdo, y ya se sabe que mi memoria no se sujeta demasiado al tiempo de los relojes ajjaja!!!) salio una nota en un diario que decia que se habia logrado calcular con una supercompu y generar un grafico que lo represente de algo similar a esto, pro mas podriamos decir que terminarond e entender la botella bendita ajjaja!!!!!

En Topología, una botella de Klein es una superficie no orientable cerrada de Característica de Euler igual a 0 que no tiene ni interior ni exterior. Fue concebida por el matemático alemán Felix Klein, de donde se deriva el nombre.

La botella

Se puede obtener una representación tridimensional de una Botella de Klein introduciendo el extremo delgado de una botella o de un matraz a través de uno de los lados del recipiente y uniéndolo a la base. Hay que recalcar que dicha representación no es una Botella de Klein. Físicamente puede ser realizada sólo en un espacio de cuatro dimensiones, puesto que debe pasar a través de sí misma sin la presencia de un agujero.

Como fibrado

Esta superficie (simbolizada por K) puede considerarse como el espacio total de un fibrado (no trivial) sobre el círculo donde la fibra es también un círculo, i.e. . En contraste el toro también es un fibrado, pero es trivial, esto es .

Otro concepto con el mismo nombre

En la geometría algebraica, una superficie de Klein, que se diferencía de la botella de Klein, es el similar de una superficie de Riemann en el sentido de que una superficie de Klein admite una estructura di-analítica, es decir una estructura analítica que adiciona una posible función de transición a una estructura analítica -consistente en la conjugación compleja- determina una que es anti-analítica.

Una anécdota; El nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleins Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleins Fläche). El traductor de la primera referencia al objeto del alemán al inglés confundió las palabras. Como la apariencia de la representación en recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.

Banda de Moebius

Si amiga mía, nuestra famosa y bien ponderada Banda de Moebius, la misma con la que una vez experiementamos y encontramos propiedades relocas!!!!!

Todo comenzó un día viendo o dándole una oportunidad a una peli Argentina, que termino siendo una de las pelis de ciencia ficción mas copadas que vi, se llama ¨Moebius¨, la peli trata sobre una realidad alterna de nuestra ciudad de Buenos Aires en donde las redes de subtes son muy extensas y en una modificación sin quererlo la terminan transformando en una banda de moebius, cuestión se termina perdiendo toda una formación con sus pasajeros incluidos en el espacio tiempo!!!! Ya desde antes había visto la figura, pero ni sabia como se llamaba hasta que vi la peli esta, y medio que me flasheo los sesos ajajja!!!!

Un día con una gran amiga mía hablando de esto terminamos haciendo un par de estas bandas y vimos que son mas extrañas de lo que aun parecen.......

Para explicarlo mas o menos en lunfardo la cosa es así, imaginen una cinta de un par de centímetros de ancho y varios de largo, unan sus extremos pero de manera e que quede con una vueltita, es decir, a uno de los extremos al juntarlo con el otro se lo debe girar 180°, y observen lo que paso, recorran con un dedo o con una birome y se sorprenderán!!!!!

Termina siendo una figura tan particular que es difícil encuadrarla en el espacio matemático, es a mi modo de ver, una ¨cosa¨ en 2D que existe en la realidad 4D....

Los gráficos explicaran un poco mas, y verán que hoy en día es usada esta figura APRA diferentes cosas, aunque poca gente la conoce siquiera.....

Así que adhiero un poco de explicación extra.....

El símbolo internacional de reciclaje es una banda de Möbius.

La banda de Möbius o cinta de Möbius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo "moebius", pero nunca "mobius") es una superficie con un solo lado y un solo componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Moubius y Johann Benedict Listing en 1858.

Propiedades

La banda de Möbius tiene una serie de propiedades curiosas.Para construirla se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (un cilindro ), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira 180° uno de los extremos y se vuelve a pegar. La banda resultante tiene sólo un borde, lo que se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, por ejemplo, y notando que se alcanza el punto opuesto sin haber atravesado la superficie; así mismo, si se trata de pintar un lado de un color y el opuesto de otro, se llegará al momento en que los dos colores choquen. Si se parte con una díada (pareja) de ejes perpendiculares, y se desplaza paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Si se corta a lo largo una cinta de Möbius, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas sino que se obtiene una banda más larga pero con dos giros y no uno como la original. Luego de esto, es muy dificil volverla a su estado original. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas con vueltas pero entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo cada una se siguen obteniendo más bandas entrelazadas. Esto se puede comprobar con un experimento casero. Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topológia.

Geometría

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de es mediante la parametrización:

donde y . Esto produce una banda de Möbius de ancho unitario, cuyo círculo central tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en (0,0,0). El parámetro u recorre la banda -longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro en el borde cruzando transversalmente el círculo central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

En coordenadas cilíndricas (r,θ,z), se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

Topología

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topologia ciciente) por la relación para , como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.Para transformar un cuadrado en una banda de Möbius, unir las aristas etiquetadas con A de manera tal que las direcciones en que las flechas apuntan sea la misma.La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total de un fibrado no trivial teniendo como base el círculo S¹ y fibra un intervalo, i.e.

El contraste con el fibrado trivial es agradable pues se sabe que sólo hay dos de estos fibrados E

Es decir, y son todos los I-fibrados sobre el círculo.

Un análogo de la banda de Möbius es la botella de Klein, que es un objeto cerrado que tiene solo una superficie, no se puede diferenciar el "afuera" del "adentro".Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en , la botella no.

Para transformar un cuadrado en una banda de Möbius, unir las aristas etiquetadas con A de manera tal que las direcciones en que las flechas apuntan sea la misma.